Alexander Geluk studeerde orkestdirectie bij Taijiro Iimori en cello bij Robert Dispa op de conservatoria van Arnhem en Enschede, waar hij succesvol afstudeerde. Al eerder behaalde hij een koordirectie diploma.
Zijn loopbaan werd voornamelijk in beslaggenomen door het dirigeren van symfonieorkesten en koren, maar daarnaast verschijnen er van tijd tot tijd composities van zijn hand.
Op dit moment is Alexander Geluk vaste dirigent bij het Oostgelders Symfonie Orkest, Van Wassenaer Consort, Arnhems Oratoriumkoor en Symfonia Jong Twente met welke hij in 2010 de 1ste prijs met lof behaalde op het 'Summa Cum Laude'-concours in Wenen. Geluk dirigeerde hierbij op het winnnaarsconcert in de prestigieuze 'Wiener Musikverein'. Verder is hij sinds 2007 gastdirigent bij Beethoven Academy Orchestra (Krakau). Ook werkte hij als dirigent bij, onder meer;
Oostnederlands Kamer Orkest, Neue Ruhr Kammerphilarmonie (Keulen), Deventer Jeugd en- Studenten Orkest, Euregio Jugend Symphonie Orchester, Twents Symfonie Orkest,
Il Concerto Barocco, Continuo Rotterdam, Van Wassenaer Consort (voorheen Accompagnato Enschede ), Gelders Begeleidings Orkest, Koninklijk Symfonie Orkest 'Cecilia' Almelo, Studenten Orkest Enschede 'Musica Silvestra' , Conservatoriumorkest Enschede, Opera Jong Twente, New Chamber Philharmony of Europe, Projectorkest en -koor van Rijkshogeschool IJselland, Kammersinfonieorchester Darmstadt, Bachkoor Apeldoorn, Jeugd Orkest Nederland, Pro Musica Münster, als assistent-dirigent bij de Nationale Reis Opera en acht jaar lang als vaste gastdirigent bij het Nairobi Orchestra. Naast reguliere concerten dirigeerde Geluk in Duitsland, Oostenrijk, Tsjechië,Spanje, Polen, Italië en Kenya.
Een compositie in het bijzonder van Alexander Geluk; the 'Montferland Ballade', werd zeer goed ontvangen door het publiek en de pers, welke laatste het in een recensie betitelde als 'Een knap geschreven kunstwerk, dat zeer tot de verbeelding spreekt ' en ook: '...[Grieg en] Geluk zijn meesters in de impressionistische sfeertekening...'.
Behalve uitvoeringen uit het ‘IJzeren Repertoire' van het symfonisch, opera en ballet gebied, streeft Alexander Geluk vaak ook naar uitvoeringen uit ongereptere gebieden, zoals; ‘cross over' met rock bands, waarvoor hij eerder ook een grootschalige compositie schreef voor symfonie orkest en rock-band, ook het (her)uitvoeren van onbekend repertoire, bijvoorbeeld; werken van Kilar, Eremenko en Moniuszko, Poolse componisten, of; orkestrale werken van de Rus Sviridov en bijvoorbeeld vergeten opusnummers van Glazounov.
Behalve samenwerken met (bekende) gevestigde solisten probeert Geluk met regelmaat uitvoeringsmogelijkheden te creëren voor jonge muzikanten.